જો ${\Delta _r} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} r&{2r - 1}&{3r - 2} \\ {\frac{n}{2}}&{n - 1}&a \\ {\frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right)}&{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}&{\frac{1}{2}\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)} \end{array}} \right|$ હોય,તો $\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {{\Delta _r}} $ નું મૂલ્ય:

જો $A$ એ $3$ કક્ષાનો વિસંમિત શ્રેણિક હોય અને $X$ એ તે જ કક્ષાનો બીજો શ્રેણિક હોય,તો $|XA + AX^T|$ ની કિંમત શું થાય? (જ્યાં $|P|$ એ શ્રેણિક $P$ નો નિશ્ચાયક દર્શાવે છે).

જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ હોય,તો $A^2 - 2A$ નો નિશ્ચાયક શોધો.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 4 & -2 & 8 \\ 3 & 8 & -7 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5\alpha & 0 \\ 0 & 4\alpha & -2\alpha \end{bmatrix} + \text{adj}(A)$ છે. જો $\det(B) = 66$ હોય,તો $\det(\text{adj}(A))$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $S = \left\{ \begin{bmatrix} -1 & a \\ 0 & b \end{bmatrix} : a, b \in \{1, 2, 3, \ldots, 100\} \right\}$ અને ધારો કે $T_n = \{A \in S : A^{n(n+1)} = I\}$. તો $\bigcap_{n=1}^{100} T_n$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા શોધો.

ધારો કે $A_1, A_2, A_3$ એ સમાન સામાન્ય તફાવત $d$ ધરાવતી ત્રણ સમાંતર શ્રેણીઓ ($A$.$P$.) છે અને તેમના પ્રથમ પદો અનુક્રમે $A, A+1, A+2$ છે. ધારો કે $a, b, c$ એ $A_1, A_2, A_3$ ના અનુક્રમે $7^{\text{th}}, 9^{\text{th}}, 17^{\text{th}}$ પદો છે,જેથી $\left|\begin{array}{lll} a & 7 & 1 \\ 2b & 17 & 1 \\ c & 17 & 1\end{array}\right|+70=0$ થાય. જો $a=29$ હોય,તો જેનું પ્રથમ પદ $c-a-b$ અને સામાન્ય તફાવત $\frac{d}{12}$ હોય તેવી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $........$ છે.